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Dab tsi yog fractals: kev zoo nkauj ntawm kev ua lej thiab infinity
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Anonim

Fractals tau paub txog ib puas xyoo, tau kawm zoo thiab muaj ntau yam kev siv hauv lub neej. Txawm li cas los xij, qhov tshwm sim no yog ua raws li lub tswv yim yooj yim heev: ntau cov duab, tsis muaj qhov kawg hauv kev zoo nkauj thiab ntau yam, tuaj yeem tau txais los ntawm cov qauv yooj yim uas siv ob qho kev ua haujlwm - luam thiab ntsuas.

Ib tsob ntoo, ntug hiav txwv dej, huab, lossis cov hlab ntsha hauv peb txhais tes muaj dab tsi? Thaum xub thawj siab ib muag, tej zaum nws yuav zoo li tias tag nrho cov khoom no tsis muaj dab tsi zoo sib xws. Txawm li cas los xij, qhov tseeb, muaj ib qho cuab yeej ntawm cov qauv muaj nyob rau hauv tag nrho cov khoom teev: lawv yog tus kheej zoo sib xws. Los ntawm cov ceg, zoo li los ntawm lub cev ntawm tsob ntoo, muaj cov ceg me me, los ntawm lawv - txawm tias me me, thiab lwm yam, uas yog, ceg zoo li tag nrho cov ntoo.

Lub circulatory system yog teem nyob rau hauv ib tug zoo xws li txoj kev: arterioles tawm ntawm cov hlab ntsha, thiab los ntawm lawv - qhov tsawg tshaj plaws capillaries uas oxygen nkag mus rau hauv lub cev thiab cov ntaub so ntswg. Cia peb saib cov duab satellite ntawm ntug hiav txwv dej: peb yuav pom bays thiab ceg av qab teb; cia peb saib nws, tab sis los ntawm tus noog qhov muag pom: peb yuav pom bays thiab capes; Tam sim no cia peb xav txog tias peb tab tom sawv ntawm lub puam thiab saib peb txhais taw: ib txwm muaj pebbles uas protrude rau hauv dej ntau dua li lwm tus.

Ntawd yog, ntug hiav txwv tseem zoo ib yam li nws tus kheej thaum zoomed hauv. Cov neeg Asmeskas (txawm hais tias tsa nyob rau Fabkis) tus lej lej Benoit Mandelbrot hu ua cov khoom no ntawm cov khoom fractality, thiab cov khoom no lawv tus kheej - fractals (los ntawm Latin fractus - tawg).

Fractals
Fractals

Fractal yog dab tsi?

Lub tswv yim no tsis muaj kev txwv nruj. Yog li ntawd, lo lus "fractal" tsis yog lo lus lej. Feem ntau, fractal yog ib daim duab geometric uas txaus siab rau ib lossis ntau yam ntawm cov khoom hauv qab no: • Nws muaj cov qauv ntawm txhua qhov kev nthuav dav (piv txwv li, txoj kab ncaj nraim, ib feem ntawm qhov yooj yim geometric duab - a kab segment). • Yog (kwv yees) tus kheej zoo ib yam. • Muaj ib qho fractional Hausdorff (fractal) qhov ntev, uas yog ntau tshaj qhov topological. • Muaj peev xwm ua tau nrog cov txheej txheem recursive.

Geometry thiab Algebra

Txoj kev kawm ntawm fractals ntawm lub lem ntawm lub 19th thiab 20th centuries yog heev episodic tshaj systematic, vim hais tias yav dhau los mathematicians feem ntau kawm "zoo" cov khoom uas yog amenable rau kev tshawb fawb siv txoj kev dav thiab theories. Nyob rau hauv 1872, German mathematician Karl Weierstrass tsim ib qho piv txwv ntawm ib tug tas mus li muaj nuj nqi uas yog tsis muaj qhov txawv. Txawm li cas los xij, nws txoj kev tsim kho yog qhov tsis txaus ntseeg thiab nyuaj rau kev nkag siab.

Yog li ntawd, nyob rau hauv 1904, lub Swede Helge von Koch tau tsim ib tug nruam nkhaus, uas tsis muaj tangent nyob qhov twg, thiab nws yog heev yooj yim mus kos. Nws muab tawm tias nws muaj cov khoom ntawm fractal. Ib tug ntawm cov variants ntawm no nkhaus yog hu ua "Koch snowflake".

Cov tswv yim ntawm tus kheej zoo sib xws ntawm cov duab tau khaws los ntawm Fab Kis Fab Kis Paul Pierre Levy, tus kws qhia yav tom ntej ntawm Benoit Mandelbrot. Nyob rau hauv 1938, nws luam tawm nws tsab xov xwm "Lub dav hlau thiab spatial curves thiab nto, muaj xws li ib feem ntawm tag nrho cov", uas piav txog lwm fractal - lub Lévy C-khov. Tag nrho cov saum toj no fractals tuaj yeem raug muab tso rau hauv ib chav kawm ntawm kev tsim (geometric) fractals.

Zaub
Zaub

Lwm chav kawm yog dynamic (algebraic) fractals, uas suav nrog Mandelbrot teeb. Thawj cov kev tshawb fawb hauv cov kev taw qhia no tau pib thaum pib ntawm lub xyoo pua 20th thiab muaj feem xyuam nrog cov npe ntawm Fabkis cov lej Gaston Julia thiab Pierre Fatou. Nyob rau hauv 1918, Julia yuav luag ob-pua-nplooj memoir, mob siab rau iterations ntawm complex rational functions, tau luam tawm, nyob rau hauv uas Julia cov pawg tau piav qhia - tag nrho tsev neeg ntawm fractals ze ze rau Mandelbrot teeb. Txoj haujlwm no tau txais txiaj ntsig ntawm Fab Kis Academy, tab sis nws tsis muaj ib qho kev piav qhia, yog li nws tsis tuaj yeem txaus siab rau qhov zoo nkauj ntawm cov khoom nrhiav pom.

Txawm hais tias qhov tseeb tias txoj haujlwm no tau qhuas Julia ntawm cov lej ntawm lub sijhawm, nws tsis nco qab sai. Nws tsis yog txog ib nrab xyoo tom qab uas cov khoos phis tawj rov qab los dua: nws yog lawv uas ua rau muaj kev nplua nuj thiab kev zoo nkauj ntawm lub ntiaj teb ntawm fractals pom.

Fractal qhov ntev

widget-kev txaus siab
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Raws li koj paub, qhov ntev (tus naj npawb ntawm kev ntsuas) ntawm daim duab geometric yog tus naj npawb ntawm cov kev sib koom ua ke yuav tsum tau txiav txim siab txoj hauj lwm ntawm ib qho taw tes dag ntawm daim duab no.

Piv txwv li, txoj hauj lwm ntawm ib qho taw tes ntawm qhov nkhaus yog txiav txim los ntawm ib qho kev sib koom ua ke, ntawm ib qho chaw (tsis tas yuav yog lub dav hlau) los ntawm ob qhov kev sib koom ua ke, hauv qhov chaw peb sab los ntawm peb qhov kev tswj hwm.

Los ntawm qhov kev pom dav dav ntawm kev ua lej, koj tuaj yeem txhais qhov loj me hauv qhov no: qhov nce hauv qhov ntev, hais tias, ob zaug, rau ib-dimensional (los ntawm qhov pom ntawm topological) cov khoom (segment) ua rau muaj qhov loj me. (ntev) ob zaug, rau ob-dimensional (square) tib qhov kev nce hauv linear qhov ntev ua rau qhov loj me (chaw) los ntawm 4 npaug, rau peb-dimensional (lub voos xwmfab) - los ntawm 8 zaug. Ntawd yog, qhov "tiag" (hu ua Hausdorff) qhov ntev tuaj yeem suav tau raws li qhov piv ntawm logarithm ntawm kev nce hauv "loj" ntawm ib qho khoom rau lub logarithm ntawm kev nce hauv nws qhov loj me. Ntawd yog, rau ntu D = log (2) / log (2) = 1, rau lub dav hlau D = log (4) / log (2) = 2, rau ntim D = log (8) / log (2) = 3.

Cia peb tam sim no xam qhov ntev ntawm Koch nkhaus, rau kev tsim kho uas cov ntu ntu tau muab faib ua peb qhov sib npaug thiab qhov nruab nrab nruab nrab yog hloov los ntawm daim duab peb sab sib npaug yam tsis muaj ntu no. Nrog rau qhov nce ntawm qhov ntev ntawm qhov tsawg kawg nkaus peb zaug, qhov ntev ntawm Koch nkhaus nce hauv cav (4) / log (3) ~ 1, 26. Qhov ntawd yog, qhov ntev ntawm Koch nkhaus yog feem ntau!

Science thiab kos duab

Nyob rau hauv 1982, Mandelbrot phau ntawv "Lub Fractal Geometry ntawm Xwm" tau luam tawm, nyob rau hauv uas tus sau sau thiab systematized yuav luag tag nrho cov ntaub ntawv muaj nyob rau hauv lub sij hawm hais txog fractals thiab nthuav nws nyob rau hauv ib tug yooj yim thiab siv tau. Hauv nws qhov kev nthuav qhia, Mandelbrot tau ua qhov tseem ceeb tsis yog ntawm cov qauv cumbersome thiab kev tsim lej, tab sis nyob rau hauv cov duab geometric intuition ntawm cov nyeem. Ua tsaug rau cov duab kos hauv computer thiab keeb kwm tales, uas tus kws sau ntawv txawj diluted scientific feem ntawm lub monograph, phau ntawv tau los ua ib tus neeg muag khoom zoo tshaj plaws, thiab fractals tau paub rau cov pej xeem.

Lawv txoj kev vam meej ntawm cov tsis yog lej feem ntau yog vim muaj kev pab los ntawm cov qauv yooj yim heev thiab cov qauv uas cov tub ntxhais kawm theem siab tuaj yeem nkag siab, cov duab ntawm qhov tsis txaus ntseeg thiab kev zoo nkauj tau txais. Thaum tus kheej lub khoos phis tawj tau muaj zog txaus, txawm tias tag nrho cov qauv hauv kev kos duab tau tshwm sim - fractal painting, thiab yuav luag txhua tus tswv lub khoos phis tawj tuaj yeem ua tau. Tam sim no hauv Is Taws Nem, koj tuaj yeem yooj yim pom ntau qhov chaw mob siab rau lub ncauj lus no.

Koch nkhaus
Koch nkhaus

Tsov rog thiab kev thaj yeeb

Raws li tau sau tseg saum toj no, ib qho ntawm cov khoom ntuj tsim nrog fractal zog yog cov ntug hiav txwv dej. Ib zaj dab neeg nthuav tau txuas nrog nws, lossis theej, nrog rau kev sim ntsuas nws qhov ntev, uas tsim lub hauv paus ntawm Mandelbrot cov ntawv tshawb fawb, thiab kuj tau piav qhia hauv nws phau ntawv "The Fractal Geometry of Nature".

Qhov no yog ib qho kev sim uas tau ua los ntawm Lewis Richardson, tus kws tshaj lij thiab tus lej lej, physicist thiab meteorologist. Ib qho ntawm cov lus qhia ntawm nws txoj kev tshawb fawb yog kev sim nrhiav cov lej piav qhia txog qhov ua rau thiab qhov tshwm sim ntawm kev sib ntaus sib tua ntawm ob lub teb chaws. Ntawm cov kev txwv uas nws tau coj mus rau hauv tus account yog qhov ntev ntawm ciam teb ntawm ob lub teb chaws sib ntaus sib tua. Thaum nws sau cov ntaub ntawv rau kev sim ua lej, nws pom tias nyob rau hauv ntau qhov chaw cov ntaub ntawv ntawm ciam teb sib txawv ntawm Spain thiab Portugal sib txawv heev.

Qhov no ua rau nws pom cov hauv qab no: qhov ntev ntawm lub teb chaws ciam teb nyob ntawm tus kav uas peb ntsuas lawv. Qhov me me, qhov ntev ntawm ciam teb. Qhov no yog vim lub fact tias nrog ib tug ntau dua magnification nws yuav ua tau mus rau hauv tus account ntau thiab ntau cov ntug hiav txwv dej khoov, uas yav tas los ignored vim lub roughness ntawm cov kev ntsuas. Thiab yog tias, nrog rau txhua qhov nce hauv qhov ntsuas, yav dhau los tsis suav nrog khoov ntawm cov kab yuav qhib, ces nws hloov tawm tias qhov ntev ntawm cov ciam teb yog infinite! Muaj tseeb tiag, qhov no tsis tshwm sim - qhov tseeb ntawm peb qhov kev ntsuas muaj qhov txwv tsis pub dhau. Qhov no paradox hu ua Richardson nyhuv.

Fractals
Fractals

Constructive (geometric) fractals

Lub algorithm rau tsim ib tug constructive fractal nyob rau hauv cov ntaub ntawv dav dav yog raws li nram no. Ua ntej tshaj plaws, peb xav tau ob daim duab geometric uas tsim nyog, cia peb hu lawv lub hauv paus thiab ib feem. Nyob rau hauv thawj theem, lub hauv paus ntawm lub neej yav tom ntej fractal yog depicted. Tom qab ntawd qee qhov ntawm nws qhov chaw raug hloov nrog ib feem ntawm qhov tsim nyog teev - qhov no yog thawj iteration ntawm kev tsim kho. Tom qab ntawd, cov txiaj ntsig tau rov hloov qee qhov hauv cov duab zoo ib yam li cov fragment, thiab yog tias peb txuas ntxiv cov txheej txheem no mus tas li, tom qab ntawd hauv qhov txwv peb tau txais fractal.

Cia peb xav txog cov txheej txheem no siv Koch nkhaus ua piv txwv. Raws li lub hauv paus rau Koch nkhaus, koj tuaj yeem nqa ib qho nkhaus (rau "Koch snowflake" nws yog daim duab peb sab). Tab sis peb yuav txwv peb tus kheej rau qhov yooj yim tshaj plaws - ib ntu. Ib qho tawg yog ib txoj kab tawg uas pom nyob rau saum toj hauv daim duab. Tom qab thawj iteration ntawm lub algorithm, nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, thawj ntu yuav coincide nrog lub fragment, ces txhua yam ntawm nws constituent segments yuav tsum tau hloov los ntawm ib tug tawg kab, zoo ib yam li ib tug fragment, thiab lwm yam. Daim duab qhia thawj plaub kauj ruam ntawm. txheej txheem no.

Fractals
Fractals

Hauv cov lus ntawm lej: dynamic (algebraic) fractals

Fractals ntawm hom no tshwm sim nyob rau hauv kev kawm ntawm nonlinear dynamical systems (li no lub npe). Tus cwj pwm ntawm cov kab ke no tuaj yeem piav qhia los ntawm kev ua haujlwm tsis sib xws (polynomial) f (z). Siv qee qhov pib taw tes z0 ntawm lub dav hlau complex (saib sidebar). Tam sim no xav txog qhov kev ua tsis tiav ntawm cov lej ntawm lub dav hlau complex, txhua tus ntawm cov hauv qab no tau txais los ntawm yav dhau los: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Nyob ntawm qhov pib taw tes z0, xws li ib ntus tuaj yeem coj txawv txawv: zoo li infinity li n -> ∞; converge mus rau qee qhov kawg taw tes; cyclically coj tus naj npawb ntawm cov nqi ruaj khov; ntau txoj kev xaiv kuj ua tau.

Cov zauv

Tus lej complex yog tus lej suav nrog ob ntu - tiag tiag thiab kev xav, uas yog, tus lej x + iy (ntawm no x thiab y yog tus lej tiag). kuv yog tus hu. xav txog chav tsev, uas yog, uas yog, tus lej uas txaus siab rau qhov sib npaug i^2 = -1. Cov kev ua lej yooj yim txhais tau ntau dua cov lej - ntxiv, sib npaug, faib, rho tawm (tsuas yog qhov kev sib piv tsis tau txhais). Txhawm rau tso cov lej nyuaj, feem ntau siv cov duab geometric - ntawm lub dav hlau (nws yog hu ua complex), qhov tseeb yog muab tso rau ntawm abscissa, thiab qhov kev xav ntawm qhov kev txiav txim siab, thaum tus lej complex yuav sib haum mus rau lub ntsiab lus nrog Cartesian. ua kod x y.

Yog li, txhua lub ntsiab lus z ntawm lub dav hlau complex muaj nws tus cwj pwm ntawm tus cwj pwm thaum lub sij hawm rov ua haujlwm ntawm f (z), thiab tag nrho lub dav hlau tau muab faib ua ntu. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, cov ntsiab lus dag nyob rau hauv ciam teb ntawm qhov chaw no muaj cov khoom nram qab no: rau ib tug arbitrarily me me hloov chaw, qhov xwm ntawm lawv tus cwj pwm hloov sharply (cov ntsiab lus no yog hu ua bifurcation ntsiab lus). Yog li, nws hloov tawm tias cov ntsiab lus nrog ib hom kev coj cwj pwm, nrog rau cov ntsiab lus ntawm bifurcation, feem ntau muaj cov khoom fractal. Cov no yog Julia teeb rau kev ua haujlwm f (z).

Tsev neeg ntawm zaj

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Los ntawm kev sib txawv ntawm lub hauv paus thiab cov khoom tawg, koj tuaj yeem tau txais ntau yam zoo ntawm kev tsim fractals.

Ntxiv mus, cov haujlwm zoo sib xws tuaj yeem ua tau hauv qhov chaw peb sab. Piv txwv ntawm volumetric fractals yog Menger's daim txhuam cev, Sierpinski pyramid thiab lwm yam.

Tsev neeg zaj kuj raug hu ua constructive fractals. Qee lub sij hawm lawv raug hu los ntawm lub npe ntawm cov neeg nrhiav pom "daj ntawm Txoj Kev Loj-Harter" (hauv lawv daim ntawv lawv zoo li Suav zaj). Muaj ntau txoj hauv kev los npaj qhov nkhaus no. Qhov yooj yim tshaj plaws thiab feem ntau intuitive ntawm lawv yog qhov no: koj yuav tsum tau siv ib daim ntawv ntev txaus (lub thinner daim ntawv, qhov zoo dua), thiab quav nws nyob rau hauv ib nrab. Tom qab ntawd khoov nws ob zaug dua nyob rau hauv tib txoj kev raws li thawj zaug.

Tom qab ob peb qhov rov ua dua (feem ntau tom qab tsib los yog rau folds, lub strip yuav tuab heev kom zoo zoo khoov duav), koj yuav tsum tau unbend lub strip rov qab, thiab sim ua 90˚ cov ces kaum ntawm lub folds. Tom qab ntawd qhov nkhaus ntawm zaj yuav tig tawm hauv profile. Tau kawg, qhov no tsuas yog qhov kwv yees, zoo li tag nrho peb qhov kev sim los piav txog cov khoom fractal. Lub khoos phis tawj tso cai rau koj los piav txog ntau cov kauj ruam hauv cov txheej txheem no, thiab qhov tshwm sim yog ib daim duab zoo nkauj heev.

Lub teeb Mandelbrot yog tsim nyob rau hauv ib qho txawv me ntsis. Xav txog qhov ua haujlwm fc (z) = z ^ 2 + c, qhov twg c yog tus lej nyuaj. Cia peb tsim cov kab ke ntawm qhov kev ua haujlwm no nrog z0 = 0, nyob ntawm qhov ntsuas c, nws tuaj yeem sib txawv mus rau qhov kawg lossis nyob twj ywm. Ntxiv mus, tag nrho cov txiaj ntsig ntawm c uas qhov kev sib tw no yog bounded daim ntawv Mandelbrot teeb. Nws tau kawm paub meej los ntawm Mandelbrot nws tus kheej thiab lwm tus lej, uas tau tshawb pom ntau yam khoom nthuav dav ntawm cov teeb no.

Nws tau pom tias cov lus txhais ntawm Julia thiab Mandelbrot teeb yog zoo ib yam. Qhov tseeb, ob pawg no muaj kev sib raug zoo. Namely, Mandelbrot teeb yog tag nrho cov txiaj ntsig ntawm qhov tsis sib haum xeeb c rau qhov uas Julia teeb fc (z) txuas nrog (ib txheej hu ua kev sib txuas yog tias nws tsis tuaj yeem faib ua ob qhov tsis sib xws, nrog rau qee qhov xwm txheej ntxiv).

Fractals
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Fractals thiab lub neej

Niaj hnub no, txoj kev xav ntawm fractals tau siv dav hauv ntau yam kev ua haujlwm ntawm tib neeg. Ntxiv rau cov khoom siv tshawb fawb nkaus xwb rau kev tshawb fawb thiab cov uas twb tau hais txog fractal painting, fractals yog siv nyob rau hauv cov ntaub ntawv txoj kev xav kom compress graphic cov ntaub ntawv (ntawm no tus kheej-zoo sib xws cov cuab yeej ntawm fractals yog tsuas yog siv - tom qab tag nrho, nyob rau hauv thiaj li yuav nco ntsoov ib tug me me fragment. ib qho kev kos duab thiab kev hloov pauv uas koj tuaj yeem tau txais cov seem ntawm qhov seem, ntau tsawg dua yuav tsum nco dua li khaws cia tag nrho cov ntaub ntawv).

Los ntawm kev ntxiv random perturbations rau cov qauv uas txhais lub fractal, ib tug yuav tau txais stochastic fractals uas heev plausibly qhia ib co tiag tiag khoom - nyem ntsiab, nto ntawm lub cev dej, ib co nroj tsuag, uas yog ntse siv nyob rau hauv physics, geography thiab computer graphics kom ua tau zoo dua. zoo sib xws ntawm cov khoom simulated nrog tiag. Hauv cov khoom siv hluav taws xob, cov kav hlau txais xov yog tsim tawm uas muaj cov duab fractal. Siv qhov chaw me me, lawv muab cov teeb liab tau txais txiaj ntsig zoo heev.

Economists siv fractals los piav txog cov txiaj ntsig nkhaus (ib qho cuab yeej nrhiav tau los ntawm Mandelbrot). Qhov no xaus qhov kev mus ncig me me no rau hauv lub ntiaj teb zoo nkauj zoo nkauj thiab ntau haiv neeg ntawm fractals.

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